Можете ли вы сделать несправедливую монету ярмаркой?

Рейтинг: 4.6 из 5
Автор
Вадим Соколов
Рейтинг автора
4.6

Добро пожаловать в Загадочник. Каждую неделю я предлагаю задачи, связанные с тем, что нам здесь дорого: математикой, логикой и вероятностью. Каждую неделю представляются две головоломки: Riddler Express для тех, кто хочет чего-то небольшого размера, и Riddler Classic для тех, кто занимается медленным разгадыванием головоломок. Отправьте правильный ответ на любой вопрос, 1, и вы можете получить крик в колонке на следующей неделе. Подождите до понедельника, чтобы поделиться своими ответами публично! Если вам нужна подсказка или у вас на чердаке пылится любимый пазл, поищите меня в Твиттере.

Риддлер Экспресс

Нью-йоркский марафон на прошлых выходных был отменен. Но бегуны от Des Linden - одного из лучших американских марафонцев - до собственного редактора FiveThirtyEight Santul Nerkar - моего главного редактора - все равно вышли на трассу и бросили вызов. Сантул финишировал за 3:41:43 (3 часа 41 минута 43 секунды), что в среднем составило 8 минут 27 секунд на милю.

Предположим, во время тренировки Сантул совершил два пробега на 20 миль на беговой дорожке. Для первого пробега он установил беговую дорожку на постоянную скорость, так что каждую милю он пробегал за 9 минут.

Второй проход был немного другим. Он начал со скоростью 10 минут на милю и постоянно ускорялся, пока в конце не стал бегать со скоростью 8 минут на милю. Более того, темп Сантула в минутах на милю (то есть неего скорость) линейно изменялся со временем. Таким образом, четверть пути (по времени, а не дистанции) бега, его темп составлял 9 минут 30 секунд на милю, на полпути - 9 минут на милю и т. Д.

Какой тренировочный забег был в целом быстрее (т. Е. Занимал меньше времени)? А сколько времени было у Сантула для этих двух забегов?

Риддлер Классик

Математику Джону фон Нейману приписывают понимание того, как взять монету с предвзятым отношением (вероятность выпадения орла равна p, не обязательно равная 0,5) и «смоделировать» честную монету. Просто дважды подбросьте монету. Если выпадет орел оба раза или решка оба раза, то снова дважды переверните. В конце концов, вы получите два разных кувырка: орел и решка или решка и решка, причем каждый из этих двух случаев одинаково вероятен. Как только вы получите два разных переворота, вы можете назвать второй из них результатом вашей «симуляции».

Для любого значения pот нуля до единицы эта процедура всегда будет возвращать "орел" в половине случаев и "хвост" в половине случаев. Это замечательно! Но у подхода фон Неймана есть обратная сторона - вы не знаете, как долго (то есть сколько переворотов) продлится симуляция.

Предположим, я хочу смоделировать честную монету максимум за триподбрасывания. Для каких значений pэто возможно?

Дополнительная заслуга: предположим, я хочу смоделировать честную монету максимум за Nподбрасываний. Для скольких значений pэто возможно?

Решение для Riddler Express на прошлой неделе

Поздравляем Нилеша Шаха из Сиэтла, штат Вашингтон, победителя конкурса Riddler Express на прошлой неделе.

На прошлой неделе, стоя в очереди на досрочное голосование, я подслушал дискуссию между представителями избирательных комиссий. Судя по всему, в пределах 100 футов от избирательного участка был установлен политический знак, противоречащий законам штата Нью-Йорк.

Это заставило меня задуматься. Предположим, что избирательный участок представляет собой квадратное здание со сторонами 100 футов в длину. Представитель избирательного штаба взял веревку, которая также была длиной 100 футов, и привязал один конец к двери, расположенной в середине одной из сторон здания. Затем она взяла другой конец веревки в руку.

До какой области за пределами здания она могла дотянуться, держась за веревку?

Если бы здания не было, но если бы она все еще находилась в пределах 100 футов от фиксированной точки, то область, которой она могла бы достичь, находилась в любом месте в пределах 100-футового круга, площадь которого составляла 𝜋 (100) 2, или около 31 416 квадратный фут. Из-за здания эта площадь служила верхней границей, а это означало, что ответ должен быть меньше указанного.

На данный момент было два подхода. Несколько читателей вычли область перекрытия между зданием и 100-футовым кругом. Геометрия здесь была немного сложной, но она дала ответ (5𝜋 / 6 − √3 / 4) · 100 2, или около 21 849 квадратных футов. Однако это было не совсем так.

Почему это было? Поскольку это предполагало, что струна могла пройти через здание. Хотя на прошлой неделе былХэллоуин, такое «призрачное» поведение струны было бы слишком паранормальным. Поэтому всякий раз, когда сотрудник избирательной комиссии терял видимость с дверью, к которой был привязан шнур, 50 футов веревки натягивали к стене здания, оставляя ей радиус 50 футов, с которым можно было передвигаться.

Решатель Тамера Лэнхэм набросал доступную область:

Красная область справа представляла собой полукруг с радиусом 100 футов, что означает, что ее площадь составляла 𝜋 (100) 2/2, или около 15708 квадратных футов. Между тем, две синие области имели форму четверти круга с радиусом 50 футов. Вместе эти четверти окружности образовывали полукруг, площадь которого составляла 𝜋 (50) 2/2, или около 3927 квадратных футов.

В целом, площадь региона, которую мог охватить сотрудник избирательной комиссии, составляла 6250квадратных метров, или около 19 635 квадратных футов.

Эта загадка была версией так называемой задачи с козлом, в которой козу привязывают к части забора, а вам нужно рассчитать площадь ее выпаса. Если вы думали, что квадратная форма здания недостаточно сложна, попробуйте повторить задачу для круглого здания. Это сложно!

Решение для прошлой недели Riddler Classic

Поздравляем 👏 Брайана Корригана из Лос-Анджелеса, Калифорния, победителя конкурса Riddler Classic на прошлой неделе.

На прошлой неделе вы и 60 ваших ближайших друзей решили поиграть в игру «горячая тыква», не требующая общения.

Перед тем как игра началась, вы все сидели в кругу и согласился на положительное целое число N. После выбора числа вы (лидер группы) начинаете игру, считая «1» и передавая тыкву человеку, сидящему прямо слева от вас. Затем она заявила «2» и передал тыкву одно пространство для еевлево. Это продолжалось с каждым игроком произнеся следующее число в последовательности, оборачивать вокруг круга столько раз , сколько необходимо, пока группа не коллективно подсчитаны до N. В этот момент игрок, который посчитал « N», был исключен, и игрок, находившийся непосредственно слева от него, начал следующий раунд, снова переходя к тому же значению N. Игра продолжалась до тех пор, пока не остался только один игрок, который был объявлен победителем.

В первом раунде игры игрок, находящийся на 18 делений слева от вас, выбыл первым. Рики, следующий игрок в последовательности, начал следующий раунд. Во втором раунде игрок выбыл на 31 клетку слева от Рики. Зак начал третий раунд, но по жестокой иронии судьбы его выбили. (Горе Заку.)

Какое наименьшее значение Nгруппа могла бы использовать в этой игре?

Хорошим первым шагом было извлечение важной информации из проблемы. В первом раунде, когда был 61 игрок, тыква обошла круг несколько раз (это могло быть ноль раз, один, два раза и т. Д.), А затем еще 18 делений. Другими словами, Nдолжно было быть кратным 61 (одно кратное для каждого движения тыквы по кругу) плюс19. В модульной арифметической нотации это означало, что N≡ 19 (mod 61).

Почему нужно было добавить 19, а не 18? Потому что после того, как тыква закончила движение по кругу, выи 18 человек слева от вас начали отсчет. И вы плюс 18 человек в сумме получили 19 человек.

Во втором раунде, когда было 60 игроков, тыква снова прошла несколько раз, а затем еще 31 клетка. Это говорит вам, что N≡ 32 (mod 60). И в третьем раунде, когда бедный Зак выбыл из соревнования, вы узнали, что N на1 больше, чем кратное 59, то есть N1 (модификация 59).

Поскольку числа 59, 60 и 61 были относительно простыми, китайская теорема об остатках сообщила вам, что существует единственное значение Nмежду 1 и 59 · 60 · 61, или 215 940, которое удовлетворяет всем трем вышеупомянутым модульным отношениям. Но если доказать, что решение существует, то одно дело - совсем другое дело.

Одним из способов сделать это было кодирование методом грубой силы - поиск одного числа меньше 215 940, которое имело остаток 19 при делении на 61, 32 при делении на 60 и 1 при делении на 59. Это наименьшее число было 136 232. Благодаря чудесам модульной арифметики любое кратное 215 940 плюс 136 232 также привело бы к такой же последовательности исключений.

В качестве дополнительной награды вам нужно было доиграть эту игру до конца, где вы были идентифицированы как Игрок №1, игрок слева от Вас - как Игрок №2 и так далее. И снова ваш компьютер был вашим другом. Если вы смоделировали оставшуюся часть игры, победителем оказался игрок № 58.

А для получения дополнительного кредита вам нужно было найти наименьшее значение N,при котором вы, Игрок №1, выиграли игру. Этот вопрос был неоднозначным относительно того, хотите ли вы просто наименьшее значение Nили наименьшее значение N,что также привело к исключениям, перечисленным в исходной задаче. Ответ на первый вопрос был 140, а на второй - колоссальные 42 892 352 человека. Только пять решателей нашли этот последний результат: Анджела Чжоу, Питер из Ганновера, Германия, Эмма Найт, Джим Уотерс и Аша О'Шонесси. Каждый из них выиграет воображаемую горячую тыкву!

Наконец, снимаю шляпу перед теми, кто пытался это сделать не с помощью кода, а вручную или с помощью электронных таблиц. Один из таких решателей, Шейн Тилтон, сказал, что он доволен тем, что его просто пригласили поиграть в горячую тыкву.

Кому нужно играть в игру, в которой для победы требуется 42 миллиона ходов, когда, что еще более важно, у вас есть 60 хороших друзей, с которыми можно поиграть?

Хотите еще загадок?

Ну разве тебе не повезло? Есть целая книга, полная лучших головоломок из этой колонки и некоторых ранее не встречавшихся головоломок. Он называется «Загадочник», и он уже есть в магазинах!

Новости спорта

Изначально сайт создавался для пользователей со всех стран мира. Международный домен ориентирован на самых разных пользователей. Страницы сайта переведены на 46 языков, среди которых есть и азербайджанский. Это выгодно выделяет платформу на фоне конкурентов, так как многие из них либо не работают на территории данной страны, либо не имеют местной локализации.

Больше новостей